3-адика

Войдя в кафе, она увидела прямо перед собой столик, за которым с расслабленным и жизнерадостным видом сидели трое немецких офицеров. Судя по оверлейным подсказкам, они были автоматами, что отчасти смягчило импульсивное желание подойти к столику и сорвать с их мундиров эмблемы в виде орла со свастикой. Сагреде, тем не менее, было нелегко оторвать от них взгляд и зацепив глазами столики с благовоспитанно беседующими статистами, переключить внимание на своих «друзей».
– Эмми! – горячо воскликнул автомат Морица. Сагреда улыбнулась и подошла к столику, стараясь вести себя так, как если бы эти люди приходились ей верными товарищами, за которых она была готова отдать свою жизнь…, а их выживание зависело от умения создавать видимость, будто их объединяли лишь замысловатые ученые дискуссии и место, где они могли предаться сдержанным удовольствиям кутежа.
Мориц выдвинул для нее стул, и она по очереди поздоровалась с собравшимися за столом. Помимо Морица и его жены Бланш здесь были и четверо друзей Джаррода, игравших свои привычные роли: Карл Менгер, Рудольф Карнап, Альфред Тарский и Ван Куайн. Тарский был поляком, а Куайн – американцем, но все при этом говорили по-немецки, а специальная программа транслировала английский перевод прямо в голову Сагреде. Трое клиентов в этом отношении испытывали практически то же самое – говорили и слушали по-английски, воспринимая немецкую речь как своеобразную фоновую музыку – в отличие от человека, игравшего роль Карнапа, который, судя по всему, свободно владел родным языком своего персонажа.
Андреа рассказывала, что сразу после пробуждения она, как и большинство компов, не знала никаких языков, кроме английского, но вслушиваясь в синхронный перевод, со временем набралась опыта и освоила немецкую речь. Не исключено, что СлизьНет отважно пытался убедить Андреа в том, что немецкий был ее родным языком, а английским она просто хорошо владела – как, в общем-то, и настоящая Эмми Нётер. Сагреде со столь неуклюжими махинациями мириться не приходилось. Заглушив немецкие голоса до едва заметного гортанного бормотания, она, наконец-то, получила возможность разобраться в оставшейся речи.
– Думаю, я нашел способ обобщить один из любимых приемов Курта! – восторженно заявил Карнап, когда официантка принесла Сагреде кофе и кусочек торта. – Предположим, что у нас есть формальный язык с набором аксиом и правил вывода, которые описывают основные свойства натуральных чисел. Используя метод Курта, любому высказыванию в таком языке можно сопоставить некое число – «число Гёделя», если хотите. Моя цель – доказать, что у любой формулы F с одной свободной переменной есть нечто вроде неподвижной точки, а именно высказывание G, гёделевское число которого при подстановке в F дает в результате высказывание, эквивалентное G!
Он взглянул на Сагреду, как если бы она была последней инстанцией, призванной решить, заслуживает ли эта тема внимания их группы. – Звучит интригующе, – произнесла она в теле кукловода, после чего губы марионетки синхронно воспроизвели ее слова в переводе на немецкий.
Большей моральной поддержки Карнапу и не требовалось. – Представьте такую функцию Q, которая на вход получает гёделево число произвольной формулы A с единственной свободной переменной, а в качестве результата выдает гёделево число формулы, которая получается из A заменой ее свободной переменной на гёделево число самой A. Если выразительная мощь системы достаточно велика, чтобы в ней можно было представить подобную функцию, то обязательно найдется формула B с двумя свободными переменными, которая будет доказуемо эквивалентна утверждению о том, что ее вторая переменная совпадает со значением функции Q в применении к первой. Вы следите за моей мыслью?
Сагреде не хотелось, чтобы он смотрел в ее сторону, пока она отчаянно пыталась совладать с этой до странности витиеватой формулировкой. Зачем вводить новую формулу B, когда можно ограничиться Q? А… все дело в том, что даже если сама функция Q определена корректно, ограничения формального языка могут помешать нам воспользоваться записью «Q(x)» в качестве краткого обозначения величины, которую Q принимает в точке x. В исходном допущении имелось лишь одно ограничение насчет выразительной мощи языка: ее должно хватать для формулировки утверждения о том, что некое число-кандидат y прошло серию испытанию, подтверждающих его равенство Q(x). B(x, y) не сможет выдать ответ, т. е. Q(x), напрямую, но может подтвердить или опровергнуть правильность конкретной догадки, y.
 
– Следим, не сомневайтесь, – нетерпеливо заметил Тарский.
– Помните формулу F, ради которой все и затевалось? С ее помощью мы можем ввести новую формулу C, которая также содержит одну свободную переменную и, по определению, будет утверждать, что для любого y истинность B(x, y) влечет за собой истинность F(y).
Менгер достал из жилетного кармана карандаш и стал делать на салфетке аккуратные записи, разделяя символы крупными промежутками. – Допустим, так на языке логиков выглядит утверждение, которое недотепы вроде меня записали бы в виде «C(x) равносильно F(Q(x))»…, даже если язык не позволит мне выразить Q(x) в явном виде, – подумала Сагреда.
– Попробуем теперь подставить в формулу C ее собственное гёделевское число и посмотрим, что нам это даст. – Карнап своим видом напомнил фокусника, который вот-вот должен был извлечь из одного цилиндра другой – куда большего размера. – Учитывая доказательную силу, которую наша система имеет в отношении B и Q, она также способна доказать и тот факт, что при замене свободной переменной на гёделево число, соответствующее C, формула C становится эквивалентной F, где вместо свободной переменной подставлен результат применения Q к гёделеву числу C – который, в свою очередь, равен гёделеву числу формулы, получаемой из C подстановкой ее собственного гёделева числа. Другими словами, при подстановке в C ее же собственного гёделева числа получается высказывание, эквивалентное F, в которой вместо свободной переменной фигурирует гёделево число формулы, полученной из C подстановкой гёделева числа C. А именно это мы и хотели доказать: неподвижная точка G есть не что иное, как результат подстановки гёделева числа C в саму формулу C. Если мы теперь подставим гёделево число G в F, то получим формулу, эквивалентную G!
Тарский откинулся на спинку своего стула и, вытянув руки над головой, понимающе улыбнулся. – Должен согласиться, это и правда весьма изящно!
Сагреда мельком глянула в заметки Менгера, пытаясь удостовериться, что правильно поняла ход рассуждений. Поначалу все это казалось невообразимо абстрактным, но вернуться к реальности было совсем не сложно – для этого хватало одного простого примера. Возьмем в качестве формулы F утверждение о том, что ее аргумент представляет собой сумму двух целых чисел. Согласно рассуждениям Карнапа, в этом случае можно построить формулу G, которая будет доказуемо эквивалентна утверждению о равенстве ее гёделева числа сумме двух целых квадратов. Любому свойству, о котором можно было вести речь в конкретном формальном языке, соответствовала истинная или ложная формула, утверждающая, что тем же самым свойством обладало и ее собственное гёделево число.
А для того, чтобы воспроизвести знаменитую теорему Гёделя достаточно было взять в качестве F формулу, утверждавшую, что ее свободная переменная представляла собой гёделевское число высказывания, которое было невозможно доказать в рамках формального языка. Соответствующее G в таком случае было бы равносильно тому, что у G также нет доказательства…, откуда следовало, что оно либо является ложным утверждением, «доказуемым» в рамках формального языка, либо истиной, выходящей за пределы его доказательной мощи.
 
– Вы непременно должны рассказать об этому Курту! – настойчиво воскликнула она, обращаясь к Карнапу.
– Курту все еще нездоровится, – сказал Куайн.
– Правда? – Сагреда нахмурилась. – Я начинаю о нем беспокоиться.
– На вашем месте я бы сильно не переживал, – заметил Менгер. – Временами на него накатывает легкая ипохондрия – ни для кого из присутствующих это не секрет.